摘要：除傳統(tǒng)布算的籌算開平方法外,元末明初還出現(xiàn)了至少兩種籌算開平方新法。它們與后來編成的算書中的幾種籌算開平方新法,反映了在珠算趨于流行背景下籌算開平方法的改革。其共同特點(diǎn)是,各項(xiàng)均沒有退位變化,這正是籌算開平方過渡到珠算開平方的關(guān)鍵一步。其中,籌算三層開平方法尤其適合改造成珠算商除開平方,這種改造的出現(xiàn)應(yīng)不晚于16世紀(jì)上半葉,而可能更早。歸除開平方法,是歸除法與珠算商除開平方法的結(jié)合,大約產(chǎn)生于16世紀(jì)六七十年代。從算理上講,籌算開平方發(fā)展為珠算開平方的大致脈絡(luò)為：傳統(tǒng)籌算開平方法到籌算開平方新法,到珠算商除開平方法,再到珠算歸除開平方法。此外,文章針對沒有說明算具的情況,還提出了能更加精確地判斷珠算開方與籌算開方的標(biāo)準(zhǔn)。